দশম শ্ৰেণীৰ সাধাৰণ গণিত চতুৰ্থ অধ্যায় দ্বিঘাত সমীকৰণ

অনুশীলনী 4.1

1. তলৰবোৰ দ্বিঘাত সমীকৰণ হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰা :
(i) (x + 1)² = 2(x - 3)
(ii) x² - 2x = (-2) (3 - x)
(iii) (x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x - 3)
(iv) (x - 3)(2x + 1) = x(x + 5)
(v) (2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1)
(vi) x² + 3x + 1 = (x - 2)²
(vii) (x + 2)³ = 2x(x² - 1)
সমাধান: (i) দিয়া আছে, (x + 1)² = 2(x - 3)
=> x² + 2x + 1 = 2x - 6
=> x² + 2x - 2x + 1 + 6 = 0
=> x² + 7 = 0
প্ৰদত্ত সমীকৰণটো ax² + bx + c = 0 আকাৰৰ সমীকৰণ য'ত a = 1, b = 0 আৰু c = 7 ।

$\therefore$ সমীকৰণটো দ্বিঘাত সমীকৰণ হয় ।
(ii) দিয়া আছে, x² - 2x = (-2)(3 - x)
=> x² - 2x = - 6 + 2x
=> x² - 2x - 2x + 6 = 0
=> x² - 4x + 6 = 0
প্ৰদত্ত সমীকৰণটো ax² + bx + c = 0 আকাৰৰ সমীকৰণ ।
$\therefore$ সমীকৰণটো দ্বিঘাত সমীকৰণ হয় ।
(iii)দিয়া আছে, (x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x - 3)
=> x² - 2x + x - 2 = x² - 3x - x + 3
=> x² - x - 2 - x² + 4x -3 = 0
=> 3x - 5 = 0
প্ৰদত্ত সমীকৰণটো ax² + bx + c = 0 আকাৰৰ সমীকৰণ নহয় ।
$\therefore$ সমীকৰণটো দ্বিঘাত সমীকৰণ নহয় ।
(iv) দিয়া আছে, (x - 3)(2x + 1) = x(x + 5)
=> 2x² + x - 6x - 3 = x² + 5x
=> 2x² - 5x - 3 - 5x = 0
=> 2x² -10x - 3 = 0
প্ৰদত্ত সমীকৰণটো ax² + bx + c = 0 আকাৰৰ সমীকৰণ ।
$\therefore$ সমীকৰণটো দ্বিঘাত সমীকৰণ হয় ।
(v) দিয়া আছে, (2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x -1)
=> 2x² - 6x - x + 3 = x² + 5x - x - 1
=> 2x² - 7x + 3 = x² + 4x - 1
=> 2x² - x² - 7x - 4x + 3 + 1 = 0
=> x² - 10x + 4 = 0
প্ৰদত্ত সমীকৰণটো ax² + bx + c = 0 আকাৰৰ সমীকৰণ ।
$\therefore$ সমীকৰণটো দ্বিঘাত সমীকৰণ হয় ।
(vi) দিয়া আছে, x² + 3x + 1 = (x - 2)²
=> x² + 3x + 1 = x² - 4x + 4
=> x² + 3x + 1 - x² + 4x - 4 = 0
=> 7x - 3 = 0
প্ৰদত্ত সমীকৰণটো ax² + bx + c = 0 আকাৰৰ সমীকৰণ নহয় ।
$\therefore$ সমীকৰণটো দ্বিঘাত সমীকৰণ নহয় ।
(vii) দিয়া আছে, (x + 2)³ = 2x(x² - 1)
=> x³ + 6x² + 12x + 8 = 2x³ - 2x
=> x³ - 2x³ + 6x² + 12x + 2x + 8 = 0
=> -x³ + 6x² + 14x + 8 = 0
প্ৰদত্ত সমীকৰণটো ax² + bx + c = 0 আকাৰৰ সমীকৰণ নহয় ।
$\therefore$ সমীকৰণটো দ্বিঘাত সমীকৰণ নহয় ।
(viii) দিয়া আছে, x³ - 4x² - x + 1 = (x - 2)³
=> x³ - 4x² - x + 1 = x³ - 6x² + 12x - 8
=> x³ - x³ - 4x² + 6x² - x - 12x + 1 + 8 = 0
=> 2x² - 13x + 9 = 0
প্ৰদত্ত সমীকৰণটো ax² + bx + c = 0 আকাৰৰ সমীকৰণ ।
$\therefore$ সমীকৰণটো দ্বিঘাত সমীকৰণ হয় ।
2. তলৰ পৰিস্থিতিকেইটাক দ্বিঘাত সমীকৰণৰ আৰ্হিত প্ৰদৰ্শন কৰা :
(i) আয়তাকাৰ মাটি এটুকুৰাৰ কালি 528 বৰ্গ মিটাৰ । মাটি টুকুৰাৰ দীঘ ইয়াৰ পথালিৰ দুগুণতকৈ 1 (মিটাৰত) বেছি । আমি মাটি টুকুৰাৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিয়াব লাগে ।
সমাধান: ধৰা হ'ল, মাটি টুকুৰাৰ প্ৰস্থ = x মিটাৰ
দীঘ = 2x + 1
প্ৰশ্নমতে, আয়তৰ কালি = (2x + 1)x
=> 528 = 2x² + x
=> 2x² + x - 528 = 0
(ii) দুটা ক্ৰমিক যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ পূৰণফল 106 । আমি সংখ্যা দুটা উলিয়াব লাগে ।
সমাধান :
ধৰা হ'ল, এটা সংখ্যা = x
প্ৰশ্নমতে, x(x + 1) = 106
(iii) ৰোহনৰ মাক তেওঁতকৈ 26 বছৰ ডাঙৰ । তেওঁলোকৰ বয়সৰ গুণফল আজিৰ পৰা 3 বছৰ পিছত হ'বগৈ 360 । ৰোহনৰ বৰ্তমান বয়স আমি উলিয়াব লাগে ।
সমাধান : ধৰা হ'ল, ৰোহনৰ বৰ্তমান বয়স = x বছৰ
ৰোহনৰ মাকৰ বৰ্তমান বয়স = (x + 26) বছৰ
3 বছৰ পাছত ৰোহনৰ বয়স = (x + 3) বছৰ
3 বছৰৰ পাছত ৰোহনৰ মাকৰ বয়স = (x + 29) বছৰ
প্ৰশ্নমতে, (x + 3)(x + 29) = 360
(iv) এখন ট্ৰেইনে 480 কি.মি. পথ এটা সমান দ্ৰুতিত ভ্ৰমণ কৰে । যদি এই দ্ৰুতি ঘণ্টাত 8 কি.মি. কম হ'লহেতেন, তেন্তে একে সমান দূৰত্ব আগুৰিবলৈ 3 ঘণ্টা বেছি ল'লেহেঁতেন । আমি টেইনখনৰ দ্ৰুতি উলিয়াব লাগে ।
সমাধান : ধৰা হ'ল, ট্ৰেইনখনৰ দ্ৰুতি x কি.মি./ঘণ্টা

ট্ৰেইনখনে 480 কি.মি.অতিক্ৰম কৰিবলৈ লগা সময় = $\frac{480}{x}$ ঘণ্টা

প্ৰশ্নমতে,

অনুশীলনী 4.2

1. উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ মূলবোৰ উলিওৱা ।
(i) x² - 3x - 10 = 0
(ii) 2x² + x - 6 = 0
(iii) ✓2 x² + 7x + 5✓2 = 0
(iv) 2x² - x + $\frac{1}{8}$= 0
(v) 100 x² - 20x + 1 = 0
সমাধান: (i) x² - 3x - 10 = 0
=> x² - 5x + 2x - 10 = 0
=> x(x - 5) - 2(x - 5) = 0
=> (x - 5)(x - 2) = 0
=> x - 5 = 0 বা x - 2 = 0
=> x = 5 বা x = 2
$\therefore$ নিৰ্ণেয় মূল x = 5 , x = 2
(ii) 2x² + x - 6 = 0
=> 2x² + 4x - 3x - 6 = 0
=> 2x(x + 2) - 3(x + 2) = 0
=> (x + 2)(2x - 3) = 0
=> x + 2 = 0 বা 2x - 3 = 0
=> x = -2 বা x = $\frac{3}{2}$

$\therefore$ নিৰ্ণেয় মূল x = -2, x = $\frac{3}{2}$
(iii) √2x² + 7x + 5√2 = 0
=> √2x² + 2x + 5x + 5√2 = 0
=> √2x(x + √2) + 5(x + √2) = 0
=> (x + √2)(√2x + 5) = 0
=> x + √2 = 0 বা √2x + 5 = 0
=> x = - √2 বা x = - $\frac{5}{\sqrt 2}$

$\therefore$ নিৰ্ণেয় মূল x = -√2, x = - $\frac{5}{\sqrt 2}$
(iv) 2x² - x + 1/8 = 0

=> 8(2x² - x + 1/8) = 0
=> 16x² - 8x + 1 = 0
=> 16x² - 4x - 4x + 1 = 0
=> 4x(4x -1) - (4x - 1) = 0
=> (4x - 1)(4x - 1) = 0
=> 4x - 1 = 0 বা 4x - 1 = 0
=> x = $\frac{1}{4}$ বা x = $\frac{1}{4}$

$\therefore$ নিৰ্ণেয় মূল x = $\frac{1}{4}$, x = $\frac{1}{4}$
(v) 100x² - 20x + 1 = 0
=> 100x² - 10x - 10x + 1 = 0

=> 10x(10x - 1) - (10x - 1) = 0

=> (10x - 1)(10x - 1) = 0

=> 10x - 1 = 0 বা 10x - 1 =0

=> 10x = 1 বা 10x - 1 =0

=> x = $\frac{1}{10}$ বা x = $\frac{1}{10}$

$\therefore$ নিৰ্ণেয় মূল x = $\frac{1}{10}$, x = $\frac{1}{10}$
2. উদাহৰণ 1ত দিয়া সমস্যাটো সমাধান কৰা :
সমাধান: x² - 45x + 324 = 0
=> x² - 9x - 36x + 324 = 0
=> x(x - 9) - 36(x - 9) = 0
=> (x - 9)(x - 36) = 0
=> x - 9 = 0 বা x - 36 = 0
=> x = 9 বা x = 36

$\therefore$ নিৰ্ণেয় মূল x = 9, x = 36
3. দুটা সংখ্যা উলিওৱা যাৰ সমষ্টি 27 আৰু গুণফল 182 ।
সমাধান : ধৰা হ'ল, এটা সংখ্যা = x
আনটো সংখ্যা = y
প্ৰশ্নমতে, x + y = 27

=> x = 27-y --- (1)

আৰু, xy = 182

=> (27-y)y = 182 [সমীকৰণ (1) ৰ পৰা]

=>27y - y² = 182

=> y² - 27y + 182 = 0

=> y² - 13y - 14y + 182 = 0

=> y(y - 13) - 14(y - 13) = 0

=> (y - 13)(y - 14) = 0

=> y - 13 = 0 বা y - 14 = 0

=> y = 13 বা y = 14

$\therefore$ নিৰ্ণেয় মূল x = 13, x =14
4. দুটা ক্ৰমিক যোগাত্মক সংখ্যা উলিওৱা যাৰ বৰ্গৰ যোগফল 365 ।
সমাধান : ধৰা হ'ল, এটা সংখ্যা = x
আনটো সংখ্যা = x + 1
প্ৰশ্নমতে, x² + (x + 1)² = 365
=> x² + (x² + 2x +1) = 365
=> 2x² + 2x + 1 - 365 = 0
=> 2x² + 2x - 364 = 0
=> x² + x - 182 = 0
=> x² - 13x + 14x - 182 = 0
=> x(x - 13) + 14(x - 13) = 0
=> (x - 13)(x + 14) = 0
=> x - 13 = 0 বা x + 14 = 0
=> x = 13 বা x = - 14
যিহেতু, নিৰ্ণেয় সংখ্যা দুটা যোগাত্মক ।

$\therefore$ এটা সংখ্যা = 13 আৰু আনটো সংখ্যা = 14
5. এটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ উচ্চতা ইয়াৰ ভূমিতকৈ 7 চে. মি. কম । যদি অতিভুজটো 13 চে. মি. তেন্তে অইন বাহুদুটা উলিওৱা ।
সমাধান: ধৰা হ'ল, সমকোণী ত্ৰিভুজটোৰ ভূমিডালৰ দীঘ = x চে. মি.
লম্বডালৰ উচ্চতা = (x - 7) চে. মি.
দিয়া আছে, অতিভুজডালৰ দীঘ = 13 চে. মি.
আমি জানোঁ, (লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²
=> (x - 7)² + x² = 13²
=> x² -14x + 49 + x² = 169
=> 2x² -14x - 120 = 0
=> x² - 7x - 60 = 0
=> x² - 12x + 5x - 60 = 0
=> x(x - 12) - 5(x - 12) = 0
=> (x - 12)(x - 5) = 0
=> x - 12 = 0 বা x - 5 = 0
=> x = 12 বা x = 5
$\therefore$ ভূমিডালৰ দীঘ = 12 চে.মি.
$\therefore$ লম্বডালৰ দীঘ = 12 - 7 = 5 চে. মি.
নাইবা , ভূমিডালৰ দীঘ = 5 চে.মি.

লম্বডালৰ দীঘ = 5 - 7 = -2 চে. মি.
যিহেতু, দীঘ ঋণাত্মক হব নোৱাৰে ।

$\therefore$ ভূমিডালৰ দীঘ = 12 চে.মি.,
$\therefore$ লম্বডালৰ দীঘ = (12 - 7) চে. মি.= 5 চে. মি.
6. এটা কূটিৰ শিল্পই দৈনিক এটা নিৰ্দিষ্ট সংখ্যক মাটিৰ বাচন তৈয়াৰ কৰে । এদিন দেখা গ'ল যে প্ৰতিটো বস্তুৰ উৎপাদনৰ খৰছ (টকাত) সিদিনাৰ উৎপাদিত বস্তুৰ সংখ্যাৰ দুগুণতকৈ 3 বেছি । যদি সিদিনা উৎপাদনৰ মুঠ ব্যয় 90 টকা, উৎপাদিত বস্তুৰ সংখ্যা আৰু প্রতিটো বস্তুৰ ব্যয় কিমান হ'ব উলিওৱা ।
সমাধান: ধৰা হ'ল, প্রতিটো বস্তুৰ উৎপাদনৰ খৰছ = x টকা
এতিয়া, x টকাত উৎপাদন হয় = 1টা বস্তু
1 টকাত উৎপাদন হয় = $\frac{1}{x}$ টা বস্তু
$\therefore$ 90 টকাত উৎপাদন হয় = $\frac{90}{x}$ টা বস্তু
অৰ্থাৎ, প্ৰতিদিনে উৎপাদন হয় = $\frac{90}{x}$ টা বস্তু
প্ৰশ্নমতে,

প্রতিটো বস্তুত ব্যয় হয় = 15 টকা
প্ৰতিদিনে উৎপাদন হয় = $\frac{90}{15}$ = 6 টা বস্তু

অনুশীলনী 4.3

1. বর্গ সম্পুৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ মূল (যদি বর্তে) উলিওৱা ।
(i) 2x² - 7x + 3 = 0
(ii) 2x² + x - 4 = 0
(iii) 4x² + 4√3x + 3 = 0
(iv) 2x² + x - 4 = 0
সমাধান:

$\therefore$ নিৰ্ণেয় মূল x =3 , x = $\frac{1}{2}$

$\therefore$ নিৰ্ণেয় মূল x = $\frac{-1+\sqrt{33}}{4}$, x = $\frac{-1-\sqrt{33}}{4}$

(iii) 4x² + 4√3x + 3 = 0
=> (2x + √3)² = 0
=> 2x + √3 = 0 বা 2x + √3 = 0
=> x = - $\frac{\sqrt3}{2}$, বা x = -$\frac{\sqrt3}{2}$

$\therefore$ নিৰ্ণেয় মূল x = - $\frac{\sqrt3}{2}$, x = - $\frac{\sqrt3}{2}$

(iv) 2x² + x + 4 = 0
ইয়াত, a = 2, b = 1, c = 4

এতিয়া, b² - 4.a.c = 1² - 4.2.4

= 1 - 32

= - 31

< 0

$\therefore$ প্ৰদত্ত সমীকৰণটোৰ কোনো বাস্তৱ সমাধান নাই ।

2. দ্বিঘাত সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰি ওপৰৰ প্ৰশ্ন -1ত দিয়া দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ মূল নিৰ্ণয় কৰা ।
সমাধান: (i) 2x² - 7x + 3 = 0

ইয়াত, a = 2, b = -7, c = 3

$\therefore$ নিৰ্ণেয় মূল x =3, x = $\frac{1}{2}$
(ii) 2x² + x - 5 = 0
ইয়াত, a = 2, b = 1, c = -5

(iii) 4x² + 4√3x + 3 = 0

ইয়াত, a = 4, b = 4√3, c = 3

(iv) 2x² + x - 4 = 0

ইয়াত, a = 2, b = 1, c = 4

এতিয়া, b² - 4.a.c = 1² - 4.2.4

= 1 - 32

= - 31

< 0

$\therefore$ প্ৰদত্ত সমীকৰণটোৰ কোনো বাস্তৱ সমাধান নাই ।

3. তলৰ সমীকৰণবোৰৰ মূল উলিওৱা :
(i) x - $\frac{1}{x}$ = 3, x $\neq$ 0

(ii) $\frac{1}{x+4}$ - $\frac{1}{x-7}$ = $\frac{11}{30}$, x $\neq$-4, 7
সমাধান:

4. আজিৰ পৰা 3 বছৰ আগৰ আৰু 5 বছৰ পিছৰ ৰহমানৰ বয়সৰ প্ৰতিক্রমবোৰৰ যোগফল 1/3 । তেওঁৰ বৰ্তমান বয়স উলিওৱা ।
সমাধান: ধৰা হ'ল, ৰহমানৰ বৰ্তমান বয়স = x বছৰ
3 বছৰ আগতে ৰহমানৰ বয়স = (x - 3) বছৰ
5 বছৰ পিছত ৰহমানৰ বর্তমান বয়স = (x + 5) বছৰ
প্ৰশ্নমতে,

$\therefore$ ৰহমানৰ বৰ্তমান বয়স = 7 বছৰ

5. এটা শ্ৰেণী-পৰীক্ষাত শেৱালিৰ গণিতৰ নম্বৰ আৰু ইংৰাজীৰ নম্বৰ দুটাৰ যোগফল 30 । তাই যদি গণিতত আৰু 2 নম্বৰ বেছি আৰু ইংৰাজীত 3 নম্বৰ কম পালেহেঁতেন, এই নম্বৰ দুটাৰ পুৰণফল 210 হ'লহেঁতেন । তাইৰ বিষয় দুটাত পোৱা নম্বৰবোৰ উলিওৱা ।
সমাধান: ধৰা হ'ল, শেৱালিয়ে গণিতত পোৱা নম্বৰ = x
ইংৰাজীত পোৱা নম্বৰ = y
প্রশ্নমতে, x + y = 30 --------- (1)
(x + 2)(y - 3) = 210 ------- (2)
এতিয়া, (1)=> x = 30 - y ------- (3)
আকৌ, (2)=> (30 - y + 2)(y - 3) = 210
=> (32 - y)(y - 3) = 210
=> 32y - 96 - y² + 3y = 210
=> - y² + 35y - 306 = 0
=> y² - 35y + 306 = 0
=> y² - 17y - 18y + 306 = 0

=> y(y - 17) - 18(y - 17) = 0

=> (y - 17)( y -18) = 0

=> y - 17 = 0 বা y - 18 = 0

=> y = 17 বা y = 18

$\therefore$ x = 30 - 17 = 13

বা x = 30 - 18 = 12

$\therefore$ গণিতত পোৱা নম্বৰ = 13
ইংৰাজীত পোৱা নম্বৰ = 17

বা গণিতত পোৱা নম্বৰ = 12
ইংৰাজীত পোৱা নম্বৰ = 18

6. এখন আয়তাকাৰ পথাৰৰ কৰ্ণৰ দীঘ ইয়াৰ চুটি বহুটোতকৈ 60 মিটাৰ বেছি । যদি দীঘল বাহুটো চুটি বহুটোতকৈ 30 মিটাৰ বেছি, পথাৰখনৰ বাহু দুটাৰ দীঘ উলিওৱা ।
সমাধান: ধৰা হ'ল, আয়তাকাৰ পথাৰখনৰ প্ৰস্থ = x মিটাৰ
দীঘ = (x + 30) মিটাৰ
কৰ্ণ = (x + 60) মিটাৰ
আমি জানোঁ যে, (কৰ্ণ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²
=> (x + 60)² = x² + (x + 30)²
=> x² + 120x + 3600 = x² + x² + 60x + 900

=> 2x² - x² + 60x - 120x + 900 - 3600 = 0
=> x² - 60x - 2700 = 0
=> x² - 90x + 30x - 2700 = 0

=> x(x - 90) + 30(x - 90) = 0

=> (x - 90)(x + 30) = 0

=> x - 90 = 0 বা x + 30 = 0

=> x = 90 বা x = -30 [গ্ৰহণযোগ্য নহয়

$\because$ x = -30 গ্ৰহণযোগ্য নহয়

$\therefore$ আয়তাকাৰ পথাৰখনৰ প্ৰস্থ = 90 মিটাৰ
দীঘ = (90 + 30) মিটাৰ = 120 মিটাৰ

7. দুটা সংখ্যাৰ বৰ্গৰ পার্থক্য 180 । সৰু সংখ্যাটোৰ বৰ্গ ডাঙৰ সংখ্যাটোৰ 8 গুণ । সংখ্যা দুটা উলিওৱা ।
সমাধান: ধৰা হ'ল, ডাঙৰ সংখ্যাটো = x

সৰু সংখ্যাটো = y
প্ৰশ্নমতে, x² - y² = 180 ---- (1)

আৰু, y² = 8x ---- (2)

$\therefore$ (1)=> x² - y² = 180

=> x² - 8x = 180

=> x² - 8x - 180 = 0

=> x² - 18x + 10x - 180 = 0

=> x(x - 18) + 10(x - 18) = 0

=> (x - 18)(x + 10) = 0

=> x - 18 = 0, বা x + 10 = 0

=> x = 18 বা x = -10

এতিয়া, (2)=> y² = 8.18

=> y² = 144

=> y = $\pm 12$

=> y = 12 বা y = - 1

আকৌ, (2)=> y² = 8.(-10)

=> y² = -80

=> y = $\pm \sqrt{-80}$

ইয়াত, y ৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাথাকে ।

$\therefore$ ডাঙৰ সংখ্যাটো =18

সৰু সংখ্যাটো = 12 বা -1

8. এখন ট্ৰেইনে সমান দ্ৰুতিত 360 কি. মি. ভ্ৰমণ কৰে । যদি ইয়াৰ দ্ৰুতি ঘণ্টাত 5 কি.মি. বেছি হ'লহেঁতেন, ই একেটা ভ্ৰমণৰ সময় 1 ঘণ্টা কম ল'লেহেঁতেন । ট্ৰেইনখনৰ দ্ৰুতি উলিওৱা ।
সমাধান: ধৰা হ'ল, ট্ৰেইনখনৰ দ্ৰুতি = x কিলোমিটাৰ/ঘণ্টা

ট্ৰেইনখনে 360 কি.মি . অতিক্ৰম কৰিবলৈ লগা সময় = y ঘণ্টা

প্ৰশ্নমতে, x = $\frac{360}{y}$ ---- (1)

আৰু,

এতিয়া, সমীকৰণ (1) ৰ পৰা,

x = $\frac{360}{9}$ = 40
$\therefore$ ট্ৰেইনখনৰ দ্ৰুতি = 40 কিলোমিটাৰ/ঘণ্টা

9. দুটা পানীৰ নলীয়ে এটা ছৌবাচ্চা $9\frac{3}{8}$ঘণ্টাত পূৰ কৰে । ছৌবাচ্চাটো বেলেগে বেলেগে পূৰ কৰিবলৈ হ'লে ডাঙৰ ব্যাসৰ নলীটোৱে সৰু ব্যাসৰ নলীটোতকৈ 10 ঘণ্টা কম সময় লয় । প্ৰত্যেকটো নলীয়ে বেলেগে বেলেগে কিমান সময়ত ছৌবাচ্চাটো পূৰ কৰিব পাৰিব উলিওৱা ।
সমাধান: দিয়া আছে, দুটা নলীয়ে চৌবাচ্চাটো পূৰ কৰিবলৈ সময় লয় = $9\frac{3}{8}$ ঘণ্টা = $\frac{75}{8}$ ঘণ্টা
দুয়োটা নলীয়ে 1 ঘণ্টাত পূৰ কৰে = $\frac{1}{\frac{75}{8}}$ অংশ = $\frac{8}{75}$অংশ
ধৰা হ'ল, সৰু নলীটোৱে চৌবাচ্চাটো পূৰ কৰিবলৈ সময় লয় = x ঘণ্টা
ডাঙৰ নলীটোৱে চৌবাচ্চাটো পূৰ কৰিবলৈ সময় লয় = (x - 10) ঘণ্টা

$\therefore$ 1 ঘণ্টাত সৰু নলীটোৱে চৌবাচ্চাটো পূৰ কৰে = $\frac{1}{x}$ অংশ
আৰু 1 ঘণ্টাত ডাঙৰ নলীটোৱে চৌবাচ্চাটো পূৰ কৰে = $\frac{1}{x-10}$ অংশ
প্ৰশ্নমতে,

$\therefore$ সৰু নলীটোৱে চৌবাচ্চাটো পূৰ কৰিব পাৰিব =25 ঘণ্টাত

$\therefore$ ডাঙৰ নলীটোৱে চৌবাচ্চাটো পূৰ কৰিব পাৰিব =(25 -10) ঘণ্টাত = 15 ঘণ্টাত

10. মহীশূৰ আৰু বাংগালোৰৰ মাজত 132 কি.মি. পথ ভ্ৰমণ কৰিবলৈ এখন এক্সপ্রেছ ট্ৰেইনে এখন যাত্ৰীবাহী ট্ৰেইনতকৈ 1 ঘণ্টা সময় কম লয় (মাজৰ ষ্টেচনবোৰত সিহঁতে ৰোৱা সময়খিনি নধৰাকৈ) । যদি এক্সপ্ৰেছ গাড়ীখনৰ গড় দ্ৰুতি যাত্ৰীবাহী ট্ৰেইনখনতকৈ ঘণ্টাত 11 কি.মি. বেছি, ট্ৰেইন দুখনৰ গড় দ্ৰুতি উলিওৱা ।
সমাধান: ধৰা হ'ল, যাত্ৰীবাহী ট্ৰেইনখনৰ গড় দ্ৰুতি x কি.মি./ ঘণ্টা
আৰু এক্সপ্ৰেছ ট্ৰেইনখনৰ গড় দ্ৰুতি y কি.মি./ ঘণ্টা

$\therefore$ যাত্ৰীবাহী ট্ৰেইনখনে 132 কি.মি. অতিক্ৰম কৰিবলৈ লগা সময় = $\frac{132}{x}$ ঘণ্টা

$\therefore$ এক্সপ্ৰেছ ট্ৰেইনখনে 132 কি.মি. অতিক্ৰম কৰিবলৈ লগা সময় = $\frac{132}{y}$ ঘণ্টা

প্ৰশ্নমতে, $\frac{132}{y}$ = $\frac{132}{x}$ - 1 -------(1)

আৰু, y = x + 11 ------ (2)

এতিয়া,

এতিয়া, y = x + 11 = 33 + 11= 44

$\therefore$ যাত্ৰীবাহী ট্ৰেইনখনৰ গড় দ্ৰুতি 44কি.মি./ ঘণ্টা
আৰু এক্সপ্ৰেছ ট্ৰেইনখনৰ গড় দ্ৰুতি y কি.মি./ ঘণ্টা

11. দুটা বৰ্গৰ কালিৰ যোগফল 468 বর্গমিটাৰ । যদি সিহঁতৰ পৰিসীমাৰ পাৰ্থক্য 24 মিটাৰ, বর্গ দুটাৰ বাহুৰ পৰিমাণ উলিওৱা ।
সমাধান: ধৰা হল, বৰ্গ দুটাৰ বাহুৰ দীঘ ক্ৰমে x মি. আৰু y মি.
প্ৰশ্নমতে, x² + y² = 468 ----- (1)
আৰু, 4x - 4y = 24
=> 4(x - y) = 24
=> x - y = 6
=> x = 6 + y -------- (3)
এতিয়া, (x - y)² = x² + y² - 2xy
=> 6² = 468 - 2xy [(i) আৰু (ii) ৰ পৰা]
=> 2xy = 468 - 6²
=> 2xy = 468 - 36
=> xy = $\frac{432}{2}$
=> (6 + y)y = 216
=> y² + 6y - 216 = 0
=> y² -12y + 18y - 216 = 0

=> y(y - 12) + 18(y - 12) =0

=> (y - 12)(y + 18) = 0

=> y - 12 = 0, বা y + 18 = 0

=> y = 12 , বা y = -18

$\because$ y = - 18 গ্ৰহণযোগ্য নহয়

$\therefore$ y = 12

$\therefore$ (3) => x = 6 + y = 6 + 12 = 18

$\therefore$ বৰ্গ দুটাৰ বাহুৰ দীঘ ক্ৰমে 18 মি. আৰু 12 মি.

অনুশীলনী 4. 4

1. তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ মূলবোৰৰ প্ৰকৃতি নিৰ্ণয় কৰা । যদি বাস্তৱ মূল থাকে, তেন্তে সেইবোৰ উলিওৱা ।
(i) 2x² - 3x + 5 = 0
(ii) 3x² - 4√3x + 4 = 0
(iii) 2x² - 6x + 3 = 0
সমাধান: (i) 2x² - 3x + 5 = 0
ইয়াত, a = 2, b = -3, c = 5
$\therefore$ b² - 4ac = (-3)² - 4.2.5
= 9 - 40
= - 31

$\therefore$ প্ৰদত্ত সমীকৰণটোৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাথাকে ।

(ii) 3x² - 4√3x + 4 = 0

ইয়াত, a = 3, b = - 4√3, c = 4
$\therefore$ b² - 4ac = ( - 4√3)² - 4.3.4

= 16 x 3 - 48

=48 - 48

= 0

$\therefore$ প্ৰদত্ত সমীকৰণটোৰ মূলবোৰ বাস্তৱ আৰু সমান হ'ব ।

এতিয়া,

(iii) 2x² - 6x + 3 = 0

ইয়াত, a = 2, b = - 6, c = 3
$\therefore$ b² - 4ac =(-6)² - 4.2.3

= 36 - 24

= 12

> 0

$\therefore$ প্ৰদত্ত সমীকৰণটোৰ দুটা বাস্তৱ মূল থাকিব ।

এতিয়া,

2. তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ প্ৰতিটোৰে ক্ষেত্ৰত kৰ মান উলিওৱা, যাতে সিহঁতৰ দুটাকৈ বাস্তৱ মূল থাকে ।
(i) 2x² + kx + 3 = 0
(ii) kx(x - 2) + 6 = 0
সমাধান:

3. প্ৰস্থতকৈ দীঘ 2 গুণ হোৱাকৈ এখন আমৰ বাগিচাৰ চানেকি প্ৰস্তুত কৰাটো সম্ভৱ হ'বনে যাতে ইয়াৰ কালি 800 বৰ্গ মিটাৰ হয় ? যদি সম্ভৱ, ইয়াৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা ।
সমাধান: ধৰা হ'ল, প্ৰস্থ = x মিটাৰ
দীঘ = 2x মিটাৰ
প্ৰশ্নমতে, x.2x = 800
=> 2x² = 800
=> x² = 400
=> x = $\pm \sqrt400$
=> x = $\pm 20$

=> x = 20 [$\because$ - 20 গ্ৰহণযোগ্য নহয় ]

$\therefore$ প্ৰস্থ = 20 মিটাৰ
দীঘ = 2 x 20 মিটাৰ = 40 মিটাৰ

$\therefore$ আমৰ বাগিচাৰ চানেকি প্ৰস্তুত কৰাটো সম্ভৱ হ'ব ।

4. তলৰ পৰিস্থিতিটো সম্ভৱ হয়নে ? যদি হয়, তেওঁলোকৰ বৰ্তমান বয়স নিৰ্ণয় কৰা ।
দুজন বন্ধুৰ বয়সৰ সমষ্টি 20 বছৰ । চাৰি বছৰ আগতে তেওঁলোকৰ বয়সৰ পুৰণফল (বছৰত) আছিল 48 ।
সমাধান: ধৰা হ'ল, প্ৰথম বন্ধুজনৰ বর্তমান বয়স = x বছৰ
দ্বিতীয় বন্ধুজনৰ বৰ্তমান বয়স = y বছৰ

4 বছৰ আগতে তেওঁলোকৰ বয়স আছিল ক্ৰমে (x - 4) বছৰ আৰু (y - 4) বছৰ ।
প্ৰশ্নমতে, x + y = 20 -----(1)
(x - 4)(y - 4) = 48 -----(2)
এতিয়া, (1)=> x + y = 20
=> x = 20 - y ------ (3)
আকৌ, (2)=> (x - 4)(y - 4) = 48
=> {(20 - y) - 4}(y - 4) = 48
=> (24 + y)(y - 4) = 48
=> 24y + y² - 4y - 96 = 0
=> y² + 20y - 96 = 0
=> y² + 24y - 4y - 96 = 0
=> y(y + 24) - 4(y + 24) = 0
=> (y + 24)(y - 4) = 0
=> y + 24 = 0 or y - 4 = 0
=> y = -24 or y = 4
$\therefore$ x = 20 - 4 = 16

5. পৰিসীমা 80 মিটাৰ আৰু কালি 400 বর্গ মিটাৰ হোৱাকৈ এখন আয়তাকাৰ উদ্যানৰ চানেকি কৰাটো সম্ভৱনে ? যদি হয়, ইয়াৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা ।
সমাধান: ধৰা হ'ল, দীঘ = x মিটাৰ
প্ৰস্থ = y মিটাৰ
প্ৰশ্নমতে, 2(x + y) = 80 -----(1)
xy = 400 -----(2)
এতিয়া, (1)=> x + y = 40
=> x = 40 - y ------(3)
আকৌ, (2)=> xy = 400
=> (40 - y)y = 400
=> 40y - y² = 400
=> y² - 40y + 400 = 0
=> y² -20y - 20y + 400 = 0
=> y(y - 20) - 20(y - 20) = 0
=> (y - 20)(y - 20) = 0
=> y = 20 বা y = 20

$\therefore$x = 40 - 20 = 20

$\therefore$ দীঘ = 20 মিটাৰ
$\therefore$ প্ৰস্থ = 20 মিটাৰ